作业帮y=kx+2k 与曲线x^2+y^2=4相交所得图形的面积与k之间的关系
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 13:23:48
y=kx+2k 与曲线x^2+y^2=4相交所得图形的面积与k之间的关系
y=kx+2k 与曲线x^2+y^2=4相交所得图形的面积与k之间的关系
y=kx+2k 与曲线x^2+y^2=4相交所得图形的面积与k之间的关系
直线y=k(x+2)过定点A(-2,0),A在圆x^+y^=4上,
圆心(0,0)到直线的距离d=|2k|/√(1+k^),
弦长=2√(4-d^)=4/√(1+k^),
圆心角=2arcsin[1/√(1+k^)]弧度,
两者围成的小弓形面积
=扇形面积-三角形面积
=4arcsin[1/√(1+k^)]-4|k|/(1+k^).
直线和圆恒有交点(-2,0)，圆半径为2，连接圆心与两交点，过圆心作相交弦垂线，弦所对小弧度为|圆周率－2arctank|，扇形面积为2|圆周率－2arctank|，扇形内以半径为边的等腰三角形面积为2sin|圆周率－2arctank|，围成面积是2|圆周率－2arctank|－2sin|圆周率－2arctank|，...
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直线和圆恒有交点(-2,0)，圆半径为2，连接圆心与两交点，过圆心作相交弦垂线，弦所对小弧度为|圆周率－2arctank|，扇形面积为2|圆周率－2arctank|，扇形内以半径为边的等腰三角形面积为2sin|圆周率－2arctank|，围成面积是2|圆周率－2arctank|－2sin|圆周率－2arctank|，
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原题直线与曲线相交后所形成的图形不明确，暂且以为是劣弧与直线所围成的弓形面积
易知曲线为圆心在原点(0,0)、半径为r=2的圆
直线过圆的左顶点A(-2,0)，斜率为k
显然当k=0时，直线将圆一分为二，此时弓形面积为S=2π
当k>0时，劣弧弓形在直线上方
当k<0时，劣弧弓形在直线下方
根据对称性，以下仅讨论k>0的情形
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原题直线与曲线相交后所形成的图形不明确，暂且以为是劣弧与直线所围成的弓形面积
易知曲线为圆心在原点(0,0)、半径为r=2的圆
直线过圆的左顶点A(-2,0)，斜率为k
显然当k=0时，直线将圆一分为二，此时弓形面积为S=2π
当k>0时，劣弧弓形在直线上方
当k<0时，劣弧弓形在直线下方
根据对称性，以下仅讨论k>0的情形
令直线倾斜角为α（0<α<π/2）
则由斜率与倾斜角关系有tanα=k（I）（显然k>0）
令直线与圆产生的另一个交点为B，连接OB，易知⊿AOB为等腰三角形，且|OA|=|OB|=r=2
过B向x轴作垂线交x轴于C，则由外角性质有∠BOC=2α
在RT⊿BOC中，由三角函数定义有|BC|=|OB|sin2α=2sin2α
而由万能公式有sin2α=2tanα/(1+tan^2α)
结合（I）得|BC|=4k/(1+k^2)
于是由三角形面积公式知S⊿AOB=1/2*|OA|*|BC|=4k/(1+k^2)（II）
易知扇形AOB的圆心角为∠AOB
由补角关系知∠AOB=π-∠BOC=π-2α
由（I）结合反三角函数定义知α=arctank
于是由扇形面积公式知S扇AOB=1/2*(π-2α)*r^2=2π-4arctank（III）
所以劣弧弓形的面积
S=S扇AOB-S⊿AOB=2π-4arctank-4k/(1+k^2)
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